流体控制方程

摘要：1. 守恒与非守恒式控制方程；2. 积分形式与微分形式的重要注释。

控制方程的通用形式$^{[1]}$

如果用$\phi$表示通用变量，则四个基本控制方程（连续方程、动量方程、能量方程、组分方程）可以表达成以下通用形式：

$$ \frac {\partial (\rho \phi)}{\partial t} + div(\rho u \phi) = div(\Gamma grad \phi) + S $$

其展开形式为：

$$ \frac {\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac {\partial (\rho u \phi)}{\partial x} + \frac {\partial (\rho v \phi)}{\partial y} + \frac {\partial (\rho w \phi)}{\partial z} = \frac {\partial}{\partial x}(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x}) + \frac {\partial}{\partial y}(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial y}) + \frac {\partial}{\partial z}(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial z}) + S $$

式中，$\phi$为通用变量，可以代表$u, v, w, T$等求解变量；$\Gamma$为广义扩散系数；$S$为广义源项。
式中各项依次为瞬态项（transient term）、对流项（convective term）、扩散项（diffusive term）和源项（source term）。

表1 通用控制方程中各符号的具体形式

这样，我们就只需要考虑通用微分方程（1.19）的数值解，编制求解源码，就足以求解不同类型的流体流动及传热问题。
对于不同的$\phi$，只要重复调用该程序，并给定$\Gamma$和$S$的适当表达式以及适当的初始条件和边界条件，便可求解。

非守恒型控制方程$^{[1]}$

由通用控制方程可写成：

$$ \phi \frac {\partial \rho}{\partial t} + \rho \frac {\partial \phi}{\partial t} + \phi \frac {\partial (\rho u)}{\partial x} + \rho u \frac {\partial \phi}{\partial x} + \phi \frac {\partial (\rho v)}{\partial y} + \rho v \frac {\partial \phi}{\partial y} + \phi \frac {\partial (\rho w)}{\partial z} + \rho w \frac {\partial \phi}{\partial z} = div(\Gamma grad \phi) + S $$

根据连续性方程（质量守恒方程，mass conservation equation），

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0 $$

简化为：

$$ \rho (\frac {\partial \phi}{\partial t} + u \frac {\partial \phi}{\partial x} + v \frac {\partial \phi}{\partial y} + w \frac {\partial \phi}{\partial z}) = div(\Gamma grad \phi) + S $$

SPH使用哪一种类型的控制方程是合适的？

积分形式与微分形式的重要注释$^{[2]}$

积分形式与微分形式有着实质性的区别。
积分形式的方程允许在（空间位置）固定的控制体内出现间断。然而，微分形式的控制方程假定流动参数是可微的，从而必须是连续的。
在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点变得尤其重要。

参考文献

[1] 王福军. 计算流体动力学分析--CFD软件原理与应用[M]. 清华大学出版社, 北京, 2004.
[2] 约翰 D. 安德森. 计算流体力学基础及其应用[M]. 机械工业出版社, 北京, 2007.